提到最美丽的方程，很多人首先想到的可能是欧拉恒等式， 它是复剖析中树立三角函数与复指数函数之间基本关系的数学公式。物理学家理查德·费曼称这个方程为“我们的宝石”和“数学中最杰出的公式”。数学中还有一个十分美丽的公式，但不为人知，它就是黎曼函数的函数式方程 （Riemann’s Functional Equation）。 在本文中，我将推导上述方程并了解其组成部分。为此，我们需求从更容易了解的中央开端。 方程的对称性 什么是对称？简单说，一个物体（好比说一只花瓶或一张脸），假如从不同的角度去看，或者从镜子里看，它的样子坚持不变，那么我们就说这个物体是对称的。但怎样才干把这种说法精确化呢？从不同的角度去看，它的样子坚持不变，这句话的确切含义是什么呢？想象在你面前有某个物体，这个物体绕某一条直线或某一个点旋转了一下。这样操作之后，这个物体的样子能否与原来相同？假如相同，我们会说这个物体 关于这种操作来说是“对称”的。例如，取一个圆，让它绕其圆心随意地旋转任何一个角度，结果得到的图形都与它开端时的图形完整相同。
方程也能够有对称性。在等式中 我们称左边为Λ(s)。这个方程表明Λ(s) = Λ(1-s)。也就是说，经过用1-s交流s，我们“回到了起点”。这是 反射对称。所以黎曼函数式方程是关于对称性的。更值得留意的是。这个方程显现了Gamma函数和黎曼zeta函数之间的关系。 Gamma函数 Gamma函数是数学中最重要的函数之一。从统计学和组合学到数论和物理学，gamma函数无处不在。它是由反常积分定义的， 其中z为Re(z) >0的复数。
Gamma函数有自己的几个函数式方程（ functional equations），如 假如n是一个自然数，那么Γ(n) = (n-1)!，例如Γ(5) = 4!= 4321 = 24。经过 解析延拓， 我们能够了解复平面上的Gamma函数，除了有单极点的非正整数。 Gamma函数还有其他与之相关的重要的函数式方程，例如，著名的欧拉反射公式， zeta函数 黎曼ζ函数是解析数论的明星。 这个函数的零点的散布与素数的散布相关，因而我们对这个函数有极大的兴味。 当复数s的实部大于1时，我们能够用无量级数来定义zeta函数， 当Re(s) < 1时，我们需求经过解析延拓得到另一个定义。它与质数的联络经过它的欧拉乘积表示为质数的乘积就很分明了， 泊松求和公式 这个公式值得特地写一篇文章。这个定理指出 右边的和是f的傅里叶变换在整数上的值。让我们定义一个well-behaved函数f的傅里叶变换为积分， 这里的符号表示积分是从负无量到正无量。我们简短地来证明泊松求和公式，我们只需证明下面等式即可，由于设x = 0就得到了上述公式， 首先，设f是一个具有定义良好的傅里叶变换的函数。然后，我们定义一个函数F 显然，这个函数是有一个周期的周期函数，这意味着它有一个傅里叶级数。计算F的傅里叶系数，我们得到
往常，我们知道F等于它的傅里叶级数 这就是我们想要证明的。 Theta 函数 有一类重要的函数叫做雅可比函数。我们只需求研讨其中的一个——最简单、最经典的一个。在本文中，我们用实函数来定义theta函数 请留意，k在整数上运转，因而也能够写成自然数上的级数， 我们把左边的级数称为ψ(x)， 在这种状况下，有一个简单的关系θ(x) = 1 + 2 ψ(x)。这个函数的关键特征之一也是一个函数方程。这个函数是满足的 为了证明这一点，我们将运用泊松求和公式。第一步是将下面的积分塑构成更易于处置的东西。我们有
看级数中的积分，我们能够做一个交流把它看作是复平面上的围线积分。然后我们能够用柯西积分定理来证明它实践上等于沿着实线上平行途径的积分。由此得到的高斯积分是一个经典的高斯积分，在数学中随处可见。也就是说，
把这个结果放到函数的泊松求和公式中，我们得到了想要的结果。这意味着， 黎曼函数方程 往常，我们将运用曾经树立的工具来证明函数方程， 首先，我们用交流的方式来定义函数，用参数s/2来写它 其中我们需求Re(s) > 0，如上述定义。往常我们做如下交流 得到 由于这对一切的自然数都成立，所以我们能够把两边的一切自然数相加得到
这就是上面的ζ函数和ψ函数。我们能够把它写成 往常我们能够把积分拆分红两个区间然后应用ψ函数的变换性质，应用下面的性质， 放大右边两个积分中的第一个，我们能够看到ψ的变换得到如下结果 往常我们能够做一个简单的交流把两个积分合二为一。得到的积分是 留意，右边的表白式在s和1-s处的值是相同的。有时你会看到黎曼函数方程的方式略有不同。假如我们运用欧拉反射公式，我们能够得到一个正弦函数表示的因子 它分明地表明黎曼ζ函数在负偶数上消逝了，这要归功于正弦因子。它没有在正偶数上消逝的缘由是它遇到了一个来自函数的极点。 最后 zeta函数有许多紧密相关的“表亲”，叫做狄利克雷L函数。它们十分相似，最简单的函数就是黎曼zeta函数自身。它们都能够被定义为一个级数和一个欧拉积。他们满足 更细致的讨论超出了本文的范围，但看看与上面的黎曼函数方程的相似性。因子包含一个所谓的高斯和。关于这个普通结果的美好之处在于，它适用于黎曼zeta函数以及上面提到的一切密切相关的表亲。 它们都有这种对称性，它们都被希冀满足黎曼假定，即它们一切的非平凡零点都在对称线上。在zeta函数的状况下，对称线是垂直线Re(s) = 1/2，也称为 临界线。
作者：[英] 马库斯杜索托伊（Marcus du Sautoy） 译者：柏华元 入围《经济学人》《泰晤士报》《卫报》和《泰晤士报文学增刊》年度好书，知名科普作家卢昌海鼎力引荐 牛津大学数学教授，英国皇家学会研讨员马库斯杜索托伊科普力作 带你一同探求黎曼假定，讲述数学家求知路上的苦与乐 |
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