"我想对数学和物理学之间的关系发表一些见地"

1965年，理查德·费曼（Richard Feynman）在康奈尔大学（Cornell University）举行的"数学与物理学的关系"信使系列讲座中，"巨大的解释者"谈到了他发现的数学与物理学之间的主要区别。 他的思想总结如下。

认识论的差别

"数学家准备了能够被"运用"的笼统推理，即便他们不知道它被用于什么。"

首先，费曼处置了研讨数学的人在认识论剖析水平上的差别，特别是选出了数学家：

数学家仅处置推理的结构，他们并不真正在乎他们在说什么。他们以至不需求知道自己在说什么，也不用知道自己说的是真的。

接下来，他将描画方式系统的可计算性的性质，以及人造机器推论人类自己无法了解的定理的理论可能性：

往常，我解释说，假如您说公理说“某某事物如此”和“某某事物如此”，那该怎样办？这样就能够在不知道“某某某物”一词含义的状况下中止逻辑运算。也就是说，假如有关公理的陈说是正确的，即经过精心制定和完善，那么中止推理的人就不用具有对这些词的含义的任何了解。他将能够用相同的言语得出新的结论。假如我在其中一个公理中运用三角形一词，结论中可能会有一些关于三角形的陈说。而做推理的人以至可能不知道三角形是什么！但是，然后他能够读回自己的东西，然后说：“哦，一个三角形，那只是一个三边形的东西，等等”，所以我知道了这个新事实。换句话说，数学家准备的笼统推理就是准备“被运用”。

这与物理学剖析的认识论水平相反：

物理学家对一切短语都有意义，而且有一个十分重要的事情是，许多学习物理学但不来自数学的人都不懂：物理学不是数学，数学不是物理学。一个能够辅佐另一个。但是，您必须对单词与理想世界之间的联络有所了解。如有必要，最后将您想出的内容翻译成英文，再放入要中止实验的铜块和玻璃块的世界中，以找出结果能否正确。这是一个基本不是数学问题的问题。我曾经提到了独一的其他关系. 当然，很明显，已开发的数学推理是如何发挥庞大作用并在物理学中得到运用的。另一方面，有时物理学家的推理对数学家很有用。

费曼停在那里没有做进一步的解释，但其中包含的一个相关示例是爱德华·维滕在正能量定理方面的工作，他因而被授予菲尔兹奖。 在关于爱德华·维滕作品的论文中，数学家迈克尔·阿提亚（Michael Atiyah）随后描画了其对数学的重要性：

他以数学方式解释物理思想的才干十分共同。 他一次又一次地经过对物理洞察力的出色应用，而产生了新的深化的数学定理，使数学界感到诧异。[H] e对当代数学产生了深远的影响。 在他的手中，物理学再次为数学提供了丰厚的灵感和见解。" —迈克尔·阿迪耶（Michael Atiyah）

适用范围的差别

"数学家喜欢使他们的推理尽可能地笼统"

Feynman继续诙谐地讨论数学的适用性，与大多数物理学家的兴味构成鲜明对比的是：

假如您说“我有一个三维空间”，然后问数学家有关定理，然后他们说“往常看，假如您有n个维的空间”，那么这里就是这些定理。”我只想要三维的状况……”“好吧，然后代换n = 3！”。事实证明，它们具有的许多复杂定理要简单得多，由于它们恰恰是特殊状况。物理学家总是他对特殊状况感兴味，对普通状况不感兴味，他在谈论某些事情，他不是在笼统地谈论任何事情，他知道他在说什么，他想讨论新的引力定律，他不想要武断的力气因而，要中止一定水平的简化，由于数学家曾经为各种各样的问题准备了这些东西，这是十分有用的，后来总会发现，不幸的物理学家必须回来并且说“对不起，您想通知我这四个维度。”

直觉与严谨

"不幸的数学家没有指导，但论点上精确的数学严谨和谨慎"

Feynman接下来谈到了这两个主题的发现过程，强调物理学家从某种实质上说，应用了他们的主题而不是地道笼统的优势：

当您知道您在说什么，这些东西是力气，这些东西是质量，这是惯性等等时，您就能够运用很多常识性的，关于仰仗阅历的觉得世界。您曾经看过各种各样的东西，或多或少地知道了现象的表示方式。不幸的数学家他将其转换为方程式，符号对他没有任何意义，他没有指导性，但精确的数学严谨性和关怀论点。鉴于物理学家或多或少地知道答案的去向，他们会走出来并中止一些猜测，然后很快就中止下去。精确度很高的数学上的严厉性在物理学中不是很有用，现代态度也不是。在数学中看公理。往常，数学家能够做他们想做的事，不应批判他们，由于他们不是物理学的奴隶。不用要仅仅由于这对您有用，他们就必须这样做。他们能够做自己想做的事，这是他们自己的工作，假如您想要其他东西，那么您能够自己处置。

费曼在这里以为，由于物理学关注自然现象，因而人类在这一范畴具有更好的直觉倾向。 这与描画某些数学定理的过程有些相反，包含John Forbes Nash Jr.关于非线性偏微分方程的发现：

1950年代的数学家们知道运用计算机来求解常微分方程（ODE）的相对琐碎的例程。 但是，还没有树立处置非线性偏微分方程的措施，例如在喷气发起机的湍流运动中呈现的措施。

但是，到1958年春季，纳什能够运用自己的发明措施取得基本的存在性，独一性和连续性定理。 令人诧异的是，这些措施触及"将非线性方程式转化为线性方程式，然后经过非线性伎俩中止攻击" –彼得·拉克斯（Peter Lax）密切关注他的进步，这是以前从未有人想到的"天才之笔"。 关于这项技术，隆德大学数学教授，偏微分方程专家拉尔斯·高丁（LarsGrding）随后相似地宣布："要做这一点，你必须是个天才"。

论模型的适用性

Feynman接下来讨论了物理中模型的有用性，以及它们在中止新发现的过程中似乎缺乏有用性：

接下来的问题是，我们能否应该在尝试制定新定律时中止猜测，能否应该运用仰仗阅历的觉得和哲学原理，即“我不喜欢最低限度的准绳，我愿意例如最低限度的控制”或“我不洗砦蠖距离的动作，或者我洗砦蠖距离的动作”。问题是模型在多大水平上有所辅佐。这是一件十分有趣的事情。模型经常会提供辅佐，物理教员经常会尝试讲授如何运用这些模型，并对事情的展开有很好的物理觉得。但是，最巨大的发现总会从模型中笼统出来。它历来没有做过任何事情。麦克斯韦的电动力学发现首先是在惰轮和太空中的其他一切物体上，运用了许多假想的轮子完成的。假如您解脱了一切的闲人和太空中的一切其他东西，那事就好了。狄拉克仅经过猜测方程即可发现相对论的量子力学定律。猜测方程式的措施似乎是猜测新定律的一种十分有效的措施。这再次表明，数学是表白自然的一种深层方式，而试图以哲学原理或在阅历的机械觉得中表白自然并不是一种有效的方式。

论数学物理的适用性

奇特的是，费曼继续预测，在未来的某个时分，世界的实质将不会以数学言语表白。 相反，将有其他表白自然如何运作的措施，这需求较少的计算：

我必须说，我经常做出一个假定，即物理学最终将不需求数学陈说。机械最终将被提示。总是令我感到搅扰的是，固然有这些本地业务，但依据定律以及我们今天对它们的了解，无论一个空间区域多么微小，时间区域多么微小，发作的一切都需求计算。中止无数次逻辑运算以找出答案。往常，在这么小的空间中如何中止一切操作？为什么要花无量的逻辑来弄分明一小段时空将要做什么？因而，我经常做一个假定，即定律最终将变得像棋盘一简单，并且一切复杂性都来自范围，但是，这与其他人做出的其他猜测具有相同的性质。 上面写着“我喜欢”，“你不喜欢”。对这些事情过于成见是不好的。

关于数学的需求

接下来，Feynman援用了James Jean爵士的话，并提到了小说家和物理化学家C. P. Show在讨论物理数学时的著名著作"两种文化"：

总而言之，我想用詹姆士·简斯爵士的话说：“这位巨大的建筑师似乎是一位数学家，而关于那些不懂数学的人来说，要想真正地感遭到一种真实的觉得是十分艰难的。感受大自然的美。” P. Snow谈到了两种文化。我真的以为这两种文化是有过和没有过足够了解数学的阅历，来一次观赏自然的人，这很糟糕，必须求数学并且对某些人来说数学很难。当其中一位国王试图向欧几里得学习几何学时，他埋怨说这很艰难，欧几里德说：“没有通往几何学的皇家之路”。

传播论

"或许视域有限，使这些人能够想象感兴味的宇宙的中心是人。"

最后，费曼谈到了物理学家控制数学的需求，以便能够发现有关自然的新发现，并指出数学关于我们当前对世界运转方式的了解至关重要：

作为察看这些事物的人们，我们不能像物理学家那样将其转换为我们具有的任何其他言语。假如您想讨论自然，了解自然，观赏自然，则有必要找出她所运用的言语。她仅以一种方式提供信息。我们并没有那么谦逊，致使于“请求她更改”，然后再中止任何关注。在我看来，您能够提出的一切明智论点很少会不闻不问。世界上一切的学问论据都不会压服“其他文化”的论点。那些试图经过定性地通知你这件事来教你的哲学家。我，正在尝试描画它，但是由于不可能，所以无法传播。我们正在不闻不问地交谈，或许是由于视野有限，使这些人能够想象感兴味的宇宙的中心是人。

本文是每周在中等刊物Cantor's Paradise上发表的一系列与数学相关的故事的一部分。 感激您的阅读！

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(本文翻译自Jrgen Veisdal的文章《Richard Feynman on the Differences between Mathematics and Physics》，参考：https://medium.com/cantors-paradise/richard-feynman-on-the-differences-between-mathematics-and-physics-c0847e8a3d75)