关于悖论，人们真的是充溢了无量无尽的猎奇心和想象力。好比在空中永远能够灵活翻身脚着地的猫（高空坠落对猫咪依旧会构成伤害，不要尝试！不要尝试！不要尝试！），好比涂了黄油的面包永远是黄油那面着地。当然也有人把这个和涂了黄油的面包，永远是黄油的那一面先着地「巧妙」地分离了起来。
以为我要放这个？
有了黄油悬浮技术，还要啥自行车(╯‵□′)╯︵┻━┻ 猫咪翻身来源于翻正反射。喵们经过折叠自己身体，使得前半身和后半身在不同的轴上旋转，从而抵达了在空中角动量守恒的状况下身体翻了个个。这是发表在 1894 年《Nature》上的研讨结果，你们可别笑 [1]。
当时的研讨成果 真的，悖论就是这么充溢吸收力。
理查德悖论 Richard's Paradox
经过筛法寻觅质数，扫除掉一切2的倍数，3的倍数，5的倍数……剩下来的就是质数啦 理查德悖论是在1905年时，由法国的一个中学教员，理查德发现的。这个悖论说的是这样一件事情，我们思索一个能够用来定义整数的算术特征的言语，好比汉语。我们能够用言语「第一个自然数」来定义数字 1。又好比我们熟知的质数的定义——假如这个数「只能被一以及它自己整除」，那么该数字是一个质数。 每个人都能找到一些数字的特征，一切这些定义的数量是无量大的。但是我们能够留意到，每个特征的定义都是由有限多的字组成的。因而我们能够把这些定义首先依照其字数多少中止排序，然后依照其字典次第（或者依照其对应的编码的大小）定义排列成一串。
假如我们将每个定义映射到一个数上，让排在最前面的定义映射到1上，第二前面的定义映射到2上，等等。每个定义都有一个号码。 好比在某种定义的叙说下，「只能被一以及他自己整除」这个定义对应的号码恰恰是11。而且11自身也只能被1和它自己整除，因而该定义的号码具有该定义的特征，我们称11不具有理查德性。但是「定义对应的号码满足该定义」这一点不一定总是正确的。好比假定「第一个自然数」对应的号码为4，那么它的号码与它定义的特征不同，这个数就是理查德性的。
埃舍尔名画《Drawing hands》，实践上也反映了相似先有鸡还是先有蛋的自指困境 但是由于理查德性自身是一个整数的特征，因而它也在被罗列的定义之内。依照理查德性的定义，它自身也有一个号码 n。往常这个悖论来了：n是理查德性的吗？假定 n是理查德性的，那么依照定义它没有第 n个定义所描写的特征，也就是说 n不是理查德性的，这和我们的假定相反。 而假定 n不是理查德性的，那么它具有第 n个定义所描写的特征，也就是说它是理查德性的，这也和我们的假定相反。因而「 n是理查德性的」既不能是正确的，也不能是错误的。 这个悖论产生的缘由在于混杂了数学（好比算术）和元数学（好比一个定义的写法）的概念，这迫使人们认真地域分这两者之间的区别。
罗素悖论 Russell's paradox 「我说的这句话是假话。」 估量很多人都玩过这个，让你判别这句话的真假：假如你说这句话是假话，那么就是肯定了句子的承认方式，即「我说的这句话其实是真话」；假如你说这句话是真话，那么就是肯定了这个句子，也就是「我说的这句话是假话」。
能够想象匹诺曹说出这句话时分的样子。实践上关于这句话到底是真是假学界内还有诸多争论的中央 上面这个被称为说谎者悖论。与之方式相似的还有很多，好比上面刚刚提到的理查德悖论，好比贝里悖论等。这些命题名义上没有循环，但实践上在兜了一个圈子以后又转回了原点，作为总体的元素、分子和部分反过来直接指称总体，或者直接用这个总体来定义。 我们经常提到的差点让数学大厦崩塌的罗素悖论，人们常把它和理发师悖论联络起来，这其实是不够精确的。理发师悖论和上面的说谎者悖论的结构相似，关于一个「只给不能给自己理发的人理发」的理发师，无论他要不要给他自己理发，都会招致矛盾。
「只给不能给自己理发的人理发」 假如你说就这么提出一个奇特口号的理发师就能把数学推翻了，的确不太对。这个悖论实践上通知我们这样的理发师在理想生活中不能存在而已。罗素悖论的中心在于，其推翻了人们关于朴素的汇合论的认知。
用来形象表示汇合的维恩图 朴素的汇合论以为，关于任何一个合理的性质P，都存在一个汇合来描写它，这个汇合由一切满足P的对象构成。罗素首先定义一个性质P："不属于自己"，然后定义一个汇合S，这个S就是满足P的那些汇合构成的汇合。汇合S就成为了那个尴尬的理发师，既属于自己又不属于自己。 所以理发师悖论只是罗素悖论的一部分，问题的基本出往常汇合的定义上。 希尔伯特计划 Hilbert's Program
关于数学基础，公理系统相容性的严谨证明，德国数学家希尔伯特曾经有过一个大胆的想法。他提出了希尔伯特计划，希望为全部的数学提供一个保险的理论基础。
Kurt Friedrich Gdel 所谓幻想很美满，理想很骨感，哥德尔向你扔出了哥德尔第二不完备定理，关于一个包含皮亚诺算术的方式系统，该系统的相容性不能在系统内部证明。这里「包含皮亚诺算术」是指能够推出描画自然数的命题的系统。不完备定理说，你总能在这个系统中，推出一个命题，以及它的承认。
总有那么一些定理，你既能够说它是对的，也能够说它是错误的 结 语 Conclusion
在上面提到的悖论里，能够分为逻辑上的和语义上的这两类。好比公理系统内的矛盾招致了罗素悖论，我们需求去完善作为基础的公理。语义上的矛盾能够经过一符号言语避免，在那样的符号言语中，无法表述叙说同一言语的表白式，这样也就避免了自指语句的呈现。
在悖论的上下两篇里，我们粗浅地阅读了几个从物理上、历史上的所谓「悖论」，到现代数理逻辑中的悖论；有的悖论只是出乎人们的预料，有的悖论来源于人们对难以了解的概念——诸如无量大和无量小——的疑惑，有的悖论深深地根植于人们展开起来的公理系统中。 固然它们把这个看似很美好的世界无情地突破，但是这又何尝不是探求这个过程自身呢。我们能做的是 在这个矛盾重重的世界里 永远坚持一颗猎奇心 大胆猜测，当心求证 版权声明 本文经受权转自中科院物理所微信公众号，文章转载只为学术新闻信息的传播，不代表我公众号所持的观念。 联络我们 |
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